MATLAB 微积分

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MATLAB 提供了多种方法来解决微分和积分问题，求解任意阶微分方程和极限计算。最重要的是，我们可以轻松地绘制复杂函数的图形，并通过求解原始函数及其导数来检查图形上的最大值、最小值和其他固定点

本章将涉及微积分的问题。在本章中，我们将讨论预微积分概念，即计算函数的极限和验证极限属性。

在下一章的微分中，我们将计算表达式的导数，并在图形上找到局部最大值和最小值。我们还将讨论解微分方程。

最后，在积分章节中，我们将讨论积分微积分。

计算极限

MATLAB 提供了 limit 函数来计算极限。在最基本的形式中，limit 函数将表达式作为参数，并找到当独立变量趋近于零时表达式的极限。

例如，让我们计算函数 f(x) = (x3+5)/(x4+7) ，当 x 趋近于零时的极限。

syms x limit((x^3 + 5)/(x^4 + 7))

MATLAB 将执行上述语句，并返回以下结果 -

ans = 5/7

limit 函数属于符号计算的范畴；我们需要使用 syms 函数告诉 MATLAB 我们使用的符号变量。我们也可以计算函数的极限，当变量趋近于除零以外的某个数时。要计算 $lim_{x \to a}(f(x))$，我们使用具有参数的 limit 命令。第一个参数是表达式，第二个参数是 x 趋近于的数字，在这里是 a。

例如，让我们计算函数 f(x) = (x-3)/(x-1) 在 x 趋近于 1 时的极限。

limit((x - 3)/(x-1),1)

MATLAB 将执行上述语句，并返回以下结果 -

ans = NaN

再来看一个例子，

limit(x^2 + 5, 3)

MATLAB 将执行上述语句，并返回以下结果

ans = 14 使用 Octave 计算极限

以下是使用 symbolic 包的上述示例的 Octave 版本，请尝试执行并比较结果 -

pkg load symbolic symbols x = sym("x"); subs((x^3+5)/(x^4+7),x,0)

Octave 将执行上述语句，并返回以下结果 -

ans = 0.7142857142857142857 验证极限的基本属性

代数极限定理提供了极限的一些基本属性。这些属性如下

让我们考虑两个函数 -

f(x) = (3x+5)/(x-3) g(x) = x^2 + 1

让我们计算函数的极限，当 x 趋近于 5 时，使用这两个函数和 MATLAB 验证极限的基本属性。

示例

创建一个脚本文件，将以下代码键入其中

syms x # 声明符号变量x f = (3*x + 5)/(x-3); # 定义函数f g = x^2 + 1; # 定义函数g l1 = limit(f, 4) # 求f在x=4处的极限 l2 = limit (g, 4) # 求g在x=4处的极限 lAdd = limit(f + g, 4) # 求f+g在x=4处的极限 lSub = limit(f - g, 4) # 求f-g在x=4处的极限 lMult = limit(f*g, 4) # 求f*g在x=4处的极限 lDiv = limit(f/g, 4) # 求f/g在x=4处的极限

运行该文件后，输出结果如下-

l1 = 17 l2 = 17 lAdd = 34 lSub = 0 lMult = 289 lDiv = 1 使用Octave验证极限的基本性质

以下是使用符号包的上述示例的Octave版本，请尝试执行并比较结果-

pkg load symbolic symbols x = sym("x"); f = (3*x + 5)/(x-3); g = x^2 + 1; l1 = subs(f, x, 4) # 求f在x=4处的值 l2 = subs (g, x, 4) # 求g在x=4处的值 lAdd = subs (f+g, x, 4) # 求f+g在x=4处的值 lSub = subs (f-g, x, 4) # 求f-g在x=4处的值 lMult = subs (f*g, x, 4) # 求f*g在x=4处的值 lDiv = subs (f/g, x, 4) # 求f/g在x=4处的值

Octave将执行上述语句并返回以下结果-

l1 = 17.0 l2 = 17.0 lAdd = 34.0 lSub = 0.0 lMult = 289.0 lDiv = 1.0 左侧和右侧极限

当函数在某些特定变量值处不连续时，该点的极限不存在。换句话说，当x从左侧接近时的极限值不等于x从右侧接近时的极限值时，函数f（x）的极限在 x = a 处有不连续性。

这就引出了左极限和右极限的概念。左极限被定义为x -> a时，从左侧逼近，即x < a的值，当左极限和右极限不相等时，极限不存在。

我们考虑一个函数 -

f(x) = (x - 3)/|x - 3|

我们将证明 limx->3 f(x) 不存在。MATLAB有两种方法帮助我们证明这个事实 -

通过绘制函数图形并显示不连续性。通过计算极限并显示两者的不同。

左极限和右极限通过将字符字符串“left”和“right”作为最后一个参数传递给limit命令来计算。

示例

创建一个脚本文件，并将以下代码输入其中 -

f = (x - 3)/abs(x-3); ezplot(f,[-1,5]) l = limit(f,x,3,'left') r = limit(f,x,3,'right')

运行该文件后，MATLAB将绘制以下图形 -

在此之后，将显示以下输出

l = -1 r = 1

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